ಕ-map

BAB IV
PETA KARNAUGH
(KARNAUGH MAPS)


PETA KARNAUGH

 Selain dengan teorema boole, salah satu cara untuk memanipulasi dan menyederhanakan fungsi boole adalah dengan teknik peta karnaugh.

 Peta karnaugh merupakan sekumpulan kotak-kotak yang diberi nama sedemikian rupa berdasarkan nama variabelnya dan diletakkan sedemikian rupa pula sehingga dapat mengeliminasi beberapa tabel jika kotak itu digabung. Jumlah kotak tergantung banyaknya variabel input. Jika ada sebanyak n input maka ada 2n kombinasi input, maka sebanyak itu pula kotak yang dibutuhkan.

 Dalam peta karnaugh dikenal istilah tetangga dekat. Yang dimaksud dengan tetangga dekat adalah kotak-kotak yang memiliki satu atau lebih variabel yang sama atau kotak-kotak yang terletak dalam satu atau lebih bidang yang sama.

 Yang dimaksud dengan bidang adalah sekumpulan kotak yang sudah diberi nama berdasarkan variabel inputnya.


Peta Karnaugh untuk 2 Variabel (A, B)

 Untuk 2 variabel input akan ada sebanyak 22 = 4 kombinasi input
- Maka banyaknya kotak yang dibutuhkan adalah 4 kotak.
- Keempat kotak itu diatur sebagai berikut :

A B 0 1
0 0 2
1 1 3


Penggabungan kotak-kotak untuk 2 variabel (A, B)
- Jika ada 2 kotak yang ditandai 1 bertetangga dekat dapat digabung, akan menyatakan 1 variabel tunggal.
- Untuk 1 kotak yang ditandai 1 dan tidak memiliki tetangga dekat, akan menyatakan 2 variabel.

Contoh :

y = B + A

BA
0 1
0 0 1 2
1 1 1 3

Menyatakan 1 tetangga

y = B + A B

BA
0 1
0
1 1 1

Menyatakan 2 tetangga sehingga dapat disederhanakan menjadi
y = B

y = + A + A B

BA
0 1
0 1 1
1 1

Menyatakan 2 buah 2 tetangga sehingga dapat disederhanakan menjadi
y = A +

LATIHAN - 1

1. Tentukan fungsi boole yang paling sederhana dari peta karnaugh berikut ini:
a)
BA
0 1
0 1
1 1

b)
BA
0 1
0 1
1 1
Peta Karnaugh untuk 3 Variabel (A, B, C)

 Untuk 3 variabel input akan ada sebanyak 23 = 8 kombinasi input
- Maka banyaknya kotak yang dibutuhkan adalah 8 kotak.
- Kedelapan kotak itu diatur (ada 2 cara) sebagai berikut :


AB
C 00 01 11 10 A BC 0 1
0 0 2 6 4 00 0 4
1 1 3 7 5 01 1 5
11 3 7
10 2 6

Penggabungan kotak-kotak untuk 3 variabel (A, B, C)
- 4 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 1 variabel tunggal.
- 2 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 2 variabel.
- 1 kotak yang tidak bertetangga dekat akan menyatakan 3 variabel

Contoh :

y = A B + B C + A B C + A C

CAB
00 01 11 10
0 1
1 1 1 1

Menyatakan 3 buah 2 tetangga sehingga dapat disederhanakan menjadi
y = AB + BC + AC

y = C + B C + A B C + A C

CAB
00 01 11 10
0
1 1 1 1 1

Menyatakan 4 tetangga sehingga dapat disederhanakan menjadi
y = C


y = B + B C + A B + A B C

CAB
00 01 11 10
0 1 1
1 1 1

Menyatakan 4 tetangga sehingga dapat disederhanakan menjadi
y = B

LATIHAN - 2

1. Tentukan fungsi boole yang paling sederhana dari peta karnaugh berikut ini:
a) b)
CAB
00 01 11 10 CAB
00 01 11 10
0 1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1



c) d)
CAB
00 01 11 10 CAB
00 01 11 10
0 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1


Peta Karnaugh untuk 4 Variabel (A, B, C, D)

 Untuk 4 variabel input akan ada sebanyak 24 = 16 kombinasi input
- Maka banyaknya kotak yang dibutuhkan adalah 16 kotak.
- Keenambelas kotak itu diatur sebagai berikut :

AB
CD 00 01 11 10
00 0 4 12 8
01 1 5 13 9
11 3 7 15 11
10 2 6 14 10

Penggabungan kotak-kotak untuk 4 variabel (A, B, C, D)
- 8 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 1 variabel tunggal.
- 4 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 2 variabel tunggal.
- 2 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 3 variabel.
- 1 kotak yang tidak bertetangga dekat akan menyatakan 4 variabel

Contoh :

y = A B C D + A B C + A C D + A C

CDAB
00 01 11 10
00
01
11 1 1
10 1 1

Menyatakan 4 tetangga sehingga dapat disederhanakan menjadi
y = A C

y = + A + C + A C

CDAB
00 01 11 10
00 1 1
01
11
10 1 1

Menyatakan 4 tetangga sehingga dapat disederhanakan menjadi
y =

y = B + A B + A B C D + A B C

CDAB
00 01 11 10
00 1 1
01 1 1
11 1 1
10 1 1

Menyatakan 8 tetangga sehingga dapat disederhanakan menjadi
y = B


LATIHAN - 3

1. Tentukan fungsi boole yang paling sederhana dari peta karnaugh berikut ini:
a) b)
CDAB
00 01 11 10 CDAB
00 01 11 10
00 1 1 1 00 1 1
01 1 1 1 01 1
11 1 1 11 1
10 1 1 10 1 1



Peta Karnaugh untuk 5 Variabel (A, B, C, D, E)

 Untuk 5 variabel input akan ada sebanyak 25 = 32 kombinasi input
- Maka banyaknya kotak yang dibutuhkan adalah 32 kotak.
- Ketigapuluh dua kotak itu diatur sebagai berikut :

ABC DE 000 001 011 010 100 101 111 110
ABC
DE
00 0 4 12 8 16 20 28 24 00
01 1 5 13 9 17 21 29 25 01
11 3 7 15 11 19 23 31 27 11
10 2 6 14 10 18 22 30 26 10


Penggabungan kotak-kotak untuk 5 variabel (A, B, C, D, E)
- 16 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 1 variabel tunggal.
- 8 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 2 variabel tunggal.
- 4 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 3 variabel tunggal.
- 2 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 4 variabel.
- 1 kotak yang tidak bertetangga dekat akan menyatakan 5 variabel


Contoh :

y = B + A B + D + A D

ABC DE 000 001 011 010 100 101 111 110
ABC
DE
00 1 1 1 1 00
01 1 1 1 1 01
11 1 1 1 1 11
10 1 1 1 1 10


Menyatakan 2 buah 8 tetangga sehingga dapat disederhanakan menjadi
y = B + D

y = B C + B + A B + A B D

ABC DE 000 001 011 010 100 101 111 110
ABC
DE
00 1 1 1 1 00
01 1 1 1 1 01
11 1 1 1 1 11
10 1 1 1 1 10


Menyatakan 16 tetangga sehingga dapat disederhanakan menjadi
y = B

LATIHAN - 4

1. Tentukan fungsi boole yang paling sederhana dari peta karnaugh berikut ini:
a)
ABC DE 000 001 011 010 100 101 111 110
ABC
DE
00 1 1 1 1 1 1 00
01 1 1 1 1 1 1 01
11 1 1 1 1 11
10 1 1 1 1 10




b)
ABC DE 000 001 011 010 100 101 111 110
ABC
DE
00 1 1 00
01 1 1 01
11 1 1 11
10 1 1 1 1 10




c)
ABC DE 000 001 011 010 100 101 111 110
ABC
DE
00 1 1 1 1 00
01 01
11 11
10 1 1 1 1 1 1 1 1 10


Peta Karnaugh untuk 6 Variabel (A, B, C, D, E, F)

 Untuk 6 variabel input akan ada sebanyak 26 = 64 kombinasi input
- Maka banyaknya kotak yang dibutuhkan adalah 64 kotak.
- Keenampuluh empat kotak itu diatur sebagai berikut :

ABCD EF 0000 0001 0011 0010 0100 0101 0111 0110 ABCD
EF
00 0 4 12 8 16 20 28 24 00
01 1 5 13 9 17 21 29 25 01
11 3 7 15 11 19 23 31 27 11
10 2 6 14 10 18 22 30 26 10

00 32 36 44 40 48 52 60 56 00
01 33 37 45 41 49 53 61 57 01
11 35 39 47 43 51 55 63 59 11
10 34 38 46 42 50 54 62 58 10
EF ABCD 1000 1001 1011 1010 1100 1101 1111 1110
EF ABCD




Penggabungan kotak-kotak untuk 6 variabel (A, B, C, D, E, F)
- 32 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 1 variabel tunggal.
- 16 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 2 variabel tunggal.
- 8 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 3 variabel tunggal.
- 4 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 4 variabel tunggal.
- 2 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung dan menyatakan 5 variabel.
- 1 kotak yang tidak bertetangga dekat akan menyatakan 6 variabel

Contoh :
Sederhanakan fungsi boole berikut ini :
Y (A,B,C,D,E,F) =  m (0,9,11,24,25,27,34,35,38,39,43,47,51,55,58,59,62,63)

ABCD EF 0000 0001 0011 0010 0100 0101 0111 0110
ABCD
EF
00 0 4 12 8 16 20 28 24 00
01 1 5 13 9 17 21 29 25 01
11 3 7 15 11 19 23 31 27 11
10 2 6 14 10 18 22 30 26 10

00 32 36 44 40 48 52 60 56 00
01 33 37 45 41 49 53 61 57 01
11 35 39 47 43 51 55 63 59 11
10 34 38 46 42 50 54 62 58 10
EF ABCD 1000 1001 1011 1010 1100 1101 1111 1110
EF ABCD




Kelompok Berlebihan

Jika pengelompokan 1 tidak dilakukan secara hati – hati, maka ada kemungkinan kita membuat kelompok 1 yang tidak perlu. Pengelompokan yang berlebihan (redundan) ini menghasilkan fungsi Boolean dengan term yang tidak perlu. Hal ini ditunjukkan pada Contoh 1 berikut ini.

Contoh 1
(Kelompok berlebihan) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.



Penyelesaian :
Jika pengelompokannya adalah seperti Peta Karnaugh di atas, maka fungsi hasil penyederhanaan adalah

 masih belum disederhanakan

Kita dapat membuat fungsi yang lebih sederhana lagi dengan memperhatikan bahwa kelompok yang ketida (lingkaran horizontal) merupakan kelompok yang berlebihan karena ia meningkatkan jumlah suku (term). Kelompok ketiga ini memuat dua buah 1 yang sebenarnya sudah termasuk ke dalam kelompok lain. Kelompok berlebihan dapat dihilangkan dari Peta Karnaugh menjadi :



maka fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah :



yang ternyata lebih sederhana dibandingkan dengan jawaban pertama karena mengandung jumlah literal dan operasi biner lebih sedikit.

Ketidakunikan fungsi hasil penyederhanaan

Metode peta Karnaugh menghasilkan fungsi Boolean yang lebih sederhana. Fungsi yang lebih sederhana mempunyai jumlah literal dan jumlah term yang lebih sedikit daripada fungsi asalnya. Namun, hasil penyederhanaan denga peta Karnaugh tidak selalu unik. Artinya, mungkin terdapat beberapa bentuk fungsi minimasi yang berbeda meskipun jumlah literal dan jumlah term-nya sama. Hal ini diberikan pada contoh peta Karnaugh di bawah ini.

Kemungkinan pengelompokan I :


Fungsi minimasi :

Kemungkinan pengelompokan II :


Fungsi minimasi :


Kemungkinan pengelompokan III :

Fungsi minimasi : + w y’z’


METODE QUINE- McCLUSKEY

Metode peta Karnaugh hanya cocok digunakan jika fungsi Boolean mempunyai jumlah peubah paling banyak 6 buah. Jika jumlah peubah yang terlibat pada suatu fungsi Boolean lebih dari 6 buah maka penggunaan peta Karnaugh menjadi semakin rumit, sebab ukuran peta bertambah besar. Selain itu, metode peta Karnaugh lebih sulit diprogram dengan komputer karena diperlukan pengamatan visual untuk mengidentifikasi minterm-minterm yang akan dikelompokkan. Untuk itu diperlukan metode penyederhanaan yang lain yang dapat diprogram dan dapat digunakan untuk fungsi Boolean dengan sembarang jumlah peubah. Metode alternatif tersebut adalah metode Quine-McCluskey yang dikembangkan oleh W.V. Quine dan E.J. McCluskey pada tahun 1950.

Langkah-langkah metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan ekspresi Boolean dalam bentuk SOP adalah sebagai berikut :
1. Nyatakan tiap minterm dalam n peubah menjadi string bit yang panjangnya n, yang dalam hal ini peubah komplemen dinyatakan dengan ‘0’, peubah yang bukan komplemen dengan ‘1’.
2. Kelompokkan tiap minterm berdasarkan jumlah ‘1’ yang dimilikinya.
3. Kombinasikan minterm dalam n peubah dengan kelompok lain yang jumlah ‘1’-nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima (prime-implicant) yang terdiri dari n-1 peubah. Minterm yang dikombinasikan diberi tanda “”.
4. Kombinasikan minterm dalam n-1 peubah dengan kelompok lain yang jumlah ‘1’-nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima yang terdiri dari n-2 peubah.
5. Teruskan langkah 4 sampai diperoleh bentuk prima yang sesederhana mungkin.
6. Ambil semua bentuk prima yang tidak bertanda “”. Buatlah tabel baru yang memperlihatkan minterm dari ekspresi Boolean semula yang dicakup oleh bentuk prima tersebut (tandai dengan “”). Setiap minterm harus dicakup oleh paling sedikit satu buah bentuk prima.
7. Pilih bentuk prima yang memiliki jumlah literal paling sedikit namun mencakup sebanyak mungkin minterm dari ekspresi Boolean semula. Hal ini dapat dilakukan dengan cara berikut :
a. Tandai kolom – kolom yang mempunyai satu buah tanda “” dengan tanda “*”, lalu beri tanda “” di sebelah kiri bentuk prima yang berasosiasi dengan tanda “*” tersebut. Bentuk prima ini telah dipilih untuk fungsi Boolean sederhana.
b. Untuk setiap bentuk prima yang telah ditandai “”, beri tanda minterm yang dicakup oleh bentuk prima tersebut dengan tanda “”.
c. Periksa apakah masih ada minterm yang belum dicakup oleh bentuk prima terpilih. Jika ada, pilih dari bentuk prima yang tersisa yang mencakup sebanyak mungkin minterm tersebut. Beri tanda “” bentuk prima yang dipilih itu serta minterm yang dicakupnya.
d. Ulangi langkah c sampai seluruh minterm sudah dicakup oleh semua bentuk prima.
Asilnya, metode Quine McCluskey digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean yang ekspresinya dalam bentuk SOP, namun metode ini dapat dimodifikasi sehingga juga dapat digunakan untuk ekspresi dalam bentuk POS.

Contoh 1
Sederhanakan fungsi Boolean .

Penyelesaian :
(i). Langkah 1 sampai 5 :

(ii). Langkah 6 dan 7 :


Bentuk prima yang terpilih adalah :

0,1 yang bersesuaian dengan term
0,2,8,10 yang bersesuaian dengan term
10,11,14,15 yang bersesuaian dengan term

Semua bentuk prima di atas sudah mencakup semua minterm dari fungsi Boolean semula. Dengan demikian, fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah .

Contoh 1 di atas kurang begitu bagus dalam memberikan ilustrasi metode Quine McCluskey. Contoh 2 di bawah ini dapat memberikan gambaran metode untuk kasus yang lebih umum.

Contoh 2
Sederhanakan fungsi Boolean

Penyelesaian :
(i). Langkah 1 sampai 5 :

(ii). Langkah 6 dan 7 :

Sampai tahap ini, masih ada dua minterm yang belum tercakup dalam bentuk prima terpilih, yaitu 7 dan 15. Bentuk prima yang tersisa (tidak terpilih) adalah (6,7), (7,15), dan (11,15). Dari ketiga kadidat ini, kita pilih bentuk prima (7,15) karena bentuk prima ini mencakup minterm 7 dan 15 sekaligus.




Sekarang, semua minterm sudah tercakup dalam bentuk prima terpilih. Bentuk prima yang terpilih adalah :
1,9 yang bersesuaian dengan term
4,6 yang bersesuaian dengan term
7,15 yang bersesuaian dengan term
8,9,10,11 yang bersesuaian dengan term

Dengan demikian, fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah


LATIHAN - 5

1. Dari tabel kebenaran berikut ini, tentukan output Y = 1 (SOP) dan Y = 0 (POS), dan gambarkan gerbang logikanya.

Desimal A B Y
0 0 0 1
1 0 1 0
2 1 0 1
3 1 1 1



2. Dengan input 4 variabel, buatlah tabel kebenaran yang memberikan output 1 jika keempat variabel dikonversikan ke desimal merupakan bilangan yang habis dibagi 4. Tuliskan juga persamaan dari output 0 dan gerbang logikanya.

3. Sederhanakan fungsi boole berikut dengan peta karnaugh :
Y = C + A D + + A C

4. Tentukan bentuk sederhana dari fungsi Boolean yang merepresentasikan tabel kebenaran (Tabel 1) dalam bentuk SOP dan bentuk POS.

Tabel 1
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

5. Minimisasi fungsi Boolean
6. Minimisasi fungsi Boolean
7. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan peta Karnaugh di bawah ini dalam bentuk SOP.






8. Minimisasi fungsi Boolean
9. Minimisasi fungsi Boolean
10. Sederhanakan fungsi Boolean berikut : ke dalam bentuk POS.
11. Sederhanakan fungsi dengan menggunakan Peta Karnaugh. Hasil penyederhanaan dalam bentuk SOP dan POS.
12. Sederhanakan fungsi
13. Minimasi fungsi yang telah dipetakan ke Peta Karnaugh di bawah ini dalam bentuk SOP dan bentuk POS.