pengkodean

BAB II
ARITMATIKA DAN PENGKODEAN


ARITMATIKA BINER

Operasi aritmatika terhadap bilangan binari yang dilakukan oleh komputer di ALU terdiri dari 2 operasi yaitu operasi penambahan dan operasi pengurangan.

• Penjumlahan Bilangan Biner

Pertambahan binari dilakukan dengan cara yang sama dengan pertambahan bilangan desimal :
- Digit – digit dari bilangan desimal ditambahkan satu persatu mulai dari posisi kolom paling kanan.
- Bila hasil pertambahan antar kolom melebihi nilai 9 maka dikurangi dengan nilai 10 untuk dibawa (carry of) ke pertambahan berikutnya.

Contoh : 273  3 dan 9 dijumlahkan hasilnya 12 > 9, karena itu dikurangi 10
189 + hasilnya : 2 dengan carry of 1
462

Pertambahan bilangan biner dilakukan dengan cara yang sama dengan dasar pertambahan bilangan biner sebagai berikut :

0 + 0 = 0 1 + 1 = 0  dengan carry of 1, 1 + 1= 2
0 + 1 = 1 karena digit terbesar biner hanya 2 maka dikurangi dengan
1 + 0 = 1 2 (basis) jadi 2 – 2 = 0 sisa 1
1 + 1 = 0

Contoh : 1 1 1 1 1 0 1 1 0
1 0 1 0 0 + 1 1 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 +
1 0 1 0 0 0 0

• Pengurangan Bilangan Biner

Dasar pengurangan untuk masing – masing digit bilangan binary adalah :

0 – 0 = 0
1 – 0 = 1 0 – 1 = 1  Dengan borrow of 1 (pinjam)
1 – 1 = 0 digit 1 dari posisi sebelah kirinya
0 – 1 = 1

Beberapa contoh pengurangan binary :

- Tanpa terjadinya peminjaman digit
Desimal Binary
27 1 1 0 1 1
9 _ 1 0 0 1 _

18 1 0 0 1 0


- Terjadi peminjaman sebuah bilangan di kolom sebelah kirinya.
Desimal Binary
29 1 1 1 0 1
11 _ 1 0 1 1 _

18 1 0 0 1 0

Caranya : 1 – 1 = 0
0 – 1 = 1 , dengan borrow of 1
1 – 0 - 1 = 0
1 – 1 = 0
1 – 0 = 1

- Tidak terjadi peminjaman sebuah bilangan di kolom sebelahnya karena yang akan dipinjam bernilai 0, sehingga harus meminjam di kolom sebelahnya lagi.

Desimal Binary
25 1 1 0 0 1
19 _ 1 0 0 1 1 _

6 0 0 1 1 0

Caranya : 1 – 1 = 0
0 - 1 = 1 , dengan borrow of 1
0 – 0 - 1 = 1 , dengan borrow of 1
1 - 0 – 1 = 0
1 – 1 = 0

BILANGAN KOMPLEMEN

• Pengurangan Bilangan Dengan Komplemen

Metode pengurangan binary biasa dilakukan oleh manusia, untuk komputer biasanya menggunakan metode komplemen (complement) yaitu :
- Komplemen basis min – 1 ( Radix minus one complement )
- Komplemen basis ( Radix )
Komplemen pada dasarnya merubah bentuk pengurangan menjadi bentuk pertambahan.
Dalam sistem desimal, ada 2 macam komplemen yaitu :
- Komplemen 9 ( 9’s complement )
- Komplemen 10 ( 10’s complement )

Dalam sistem biner :
- Komplemen 1 ( 1’s complement )
- Komplemen 2 ( 2’s complement )


• Komplemen 9 ( 9’s Complement )

Komplemen 9 dari suatu bilangan desimal delakukan dengan cara mengurangkan angka 9 untuk masing – masing digit dalam bilangan pengurang.

Contoh :
Komplemen 9 dari 24 adalah 75, yaitu : 99 – 24 = 75
Komplemen 9 dari 321 adalah 678, yaitu : 999 – 321 = 678

Pengurangan biasa Komplemen 9 Dalam komplemen 9 digit yang paling
859  859 kiri ditambahkan pada digit paling kanan.
523 _ 476 +
336 1335
1
+
336

• Komplemen 10 ( 10’s Complement )

Komplemen 10 dari suatu bilangan dilakukan dengan cara, hasil komplemen 9 ditambah 1 ( cari komplemen 9 lalu ditambah 1 ).

Contoh : Komplemen 10 dari 24  9’s = 75
10’s = 75 + 1
= 76
Contoh pengurangan :

9’s : 859 10’s : 859  9’s : 476 + 1
523 _ 477 +
336 1336
diabaikan / dibuang

• Komplemen 1 ( 1’s Complement )

Komplemen 1 dari suatu bilangan biner dilakukan dengan cara mengurangkan semua digit dengan nilai bit 1/ merubah bit ‘0’ menjadi ‘1’ atau bit ‘1’ menjadi ‘0’.

Contoh :
1’s dari 10110 = 01001
25  11001  1’s : 11001
22 _ 10110- 01001 +
3 00011 100010
1 +

00011

Dalam komplemen 1, digit 1 paling ujung kiri ditambahkan pada digit paling kanan.

• Komplemen 2 ( 2’s Complement )

Komplemen 2 dari suatu bilangan biner dilakukan dengan cara, hasil komplemen 1 ditambah 1.
Komplemen 2 dari bilangan biner 10110  10110
1’s : 01001 + 1 2’s : 01010
25  11001  2’s : 11001
22 10110 _ 01010 +
3 00011 100011
00011
dibuang / diabaikan

• Komplemen 7 ( 7’s Complement )

Komplemen 7 dari suatu bilangan oktal dilakukan dengan cara, mengurangkan angka 7 untuk masing – masing digit dalam bilangan pengurangan.


• Komplemen 8 ( 8’s Complement )

Komplemen 8 dari suatu bilangan dilakukan dengan cara, hasil komplemen 7 ditambah 1 (cari komplemen 7 dulu lalu ditambah 1).



• Komplemen 15 ( 15’s Complement )

Komplemen 15 dari suatu bilangan hexadesimal dilakukan dengan cara, mengurangkan angka 15 untuk masing – masing digit dalam bilangan pengurangan.

• Komplemen 16 ( 16’s Complement )

Komplemen 16 dari suatu bilangan dilakukan dengan cara, hasil komplemen 15 ditambah 1 (cari komplemen 15 dulu lalu ditambah 1).


PERKALIAN BILANGAN BINER

- Dilakukan seperti perkalian pada bilangan desimal
- Perkalian binari dilakukan dengan cara operasi pertambahan yang dilakukan secara berulang – ulang.
- Dasar perkalian untuk masing – masing digit bilangan biner

Bilangan biner : 0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
Contoh :
14 1110
12 x 1100 x
28 0000
14 + 0000
168 1110
1110 +
10101000

Jika pengali yang berupa digit biner bernilai 1, hasilnya berupa bilangan biner yang dikali (disalin saja), jika pengali = 0, maka hasilnya = 0

PEMBAGIAN BILANGAN BINER

- Dilakukan seperti pembagian pada bilangan desimal
- Pembagian dengan digit biner 0 tidak mempunyai arti
- Pembagian Binary yang dilakukan dengan cara operasi pengurangan yang dilakukan secara berulang – ulang.
- Dasar pembagian untuk masing – masing digit bilangan biner

Bilangan biner : 0 : 1 = 0
1 : 1 = 1
Contoh :

25 11001
5 125 101 1111101
10 - 101
25 101
25 - 101
0 101
101
0

LATIHAN


1. Tuliskan jawaban dari hasil operasi aritmatika biner berikut ini :

1. 1010 + 101 = ...
2. 1111 + 1 = ...

3. 1011 – 1010 = ...
4. 10000 – 1 = ...

5. 1010 x 1010 = ...

Carilah komplemennya :

6. (250) 10
1’s = ...
2’s = ...
8’s = ...
9’s = ...
16’s = ...
2. Gunakan 1’s dan 2’s untuk menghitung operasi pengurangan di bawah ini :
a) 1 0 0 1 1 1 0 1 - 1 1 1 0 0 1 1 0
b) 0 1 1 0 1 1 1 0 - 1 1 0 0 1 1 1 1
3. Hitung :
a) 1 0 1 1 + 1 1 1 0 + 1 1 0 1
b) 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 0
4. Carilah 7’s dan 8’s dari :
a) 176 b) 325 c) 6072
5. Hitunglah pengurangan berikut dengan 7’s dan 8’s :
a) 4 3 5 - 1 7 6
b) 5 1 3 - 3 2 5
c) 7 1 5 1 - 6 0 7 2
6. Carilah 15’s dan 16’s dari :
a) 1A6 b) AB3 c) 402D




BILANGAN BINER BERTANDA

• Bilangan biner positif mempunyai nilai antara 0000 0000(2) = 0010 dan 1111 11112 = 25510.
• Untuk membedakan bilangan positif dengan negatif sebuah bilangan desimal diberi tanda ‘-‘ disebelah kiri bilangan. Misal : - 2510
• Dalam bilangan biner tanda bilangan yaitu ‘-‘ disandikan dengan cara tertentu yang mudah dikenal dalam sistem digital. Untuk menyatakan bilangan negatif pada bilangan biner, bilangan yang dikenal dengan bit tanda bilangan (sign bit) ditambahkan di sebelah kiri MSB.
• Bilangan biner yang ditulis dengan cara di atas, menunjukkan tanda dan besarnya bilangan.
• Jika bit tanda (sign bit) = 0  menunjukkan bilangan positif.
• Jika bit tanda (sign bit) = 1  menunjukkan bilangan negatif.
• Pada bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8 bit, bit yang paling kiri menunjukkan tanda, dan 7 bit berikutnya menunjukkan besarnya bilangan.

Contoh :
No. Bit 7 6 5 4 3 2 1 0
Bit 27 26 25 24 23 22 21 20
(tanda) 64 32 16 8 4 2 1

Maka,
[0]1100111 = + (64+32+4+2+1) [0]1111111 = + (64+32+16+8+4+2+1)
= + 103 = + 12710

[1]1010101 = - (64+16+4+1) [1]1111111 = - (64+32+16+8+4+2+1)
= - 8510 = - 12710

Karena hanya 7 bit yang menunjukkan besarnya bilangan, maka bilangan terkecil dan terbesar yang ditunjukkan bilangan biner bertanda terdiri dari 8 bit adalah :

[0] 1111111 = + 12710
[1] 1111111 = - 12710

Bilangan biner tak bertanda yang terdiri dari n bit mempunyai nilai maksimum
M = 2n – 1
Bilangan biner bertanda yang terdiri dari n bit mempunyai nilai maksimum
M = 2(n – 1) – 1
Jadi untuk register 8 bit di dalam mikroprocessor yang menggunakan sistem bilangan bertanda, nilai terbesar yang bisa disimpan dalam register tersebut adalah :
M = 2(n – 1) – 1
= 2(8 – 1) – 1
= 27 –1 Jadi jangkauannya = - 12710 sampai + 12710
= 128 – 1
= 12710


KOMPLEMEN UNTUK BILANGAN BERTANDA
Bilangan negatif sering diberikan dengan sistem komplemen 2.

• Bilangan Positif

Komplemen 2 adalah sama dengan sistem yang menunjukkan tanda dan besarnya bilangan, yaitu :
- MSB (bit paling kiri) = menunjukkan tanda bilangannya.
- Bit sisanya = menunjukkan besarnya bilangan.

Contoh : + 5410 = 54 = 27 + 0 = 00110110
2 = [0] 0110110
27 = 13 + 1
2
13 = 6 + 1
2
6 = 3 + 0
2
3 = 2 + 1
2
1 = 0 + 1
2
Jadi : + 5410 = [0] 01101102

• Bilangan Negatif

Komplemen 2 dapat diperoleh dengan menghitung terlebih dahulu komplemen 1 dari bilangan semula yang bertanda +, kemudian menambahkan 1 ke LSB-nya (bit paling kanan).

Contoh : - 5410 = [1] 0110110
1’s = [1] 1001001
1 +
2’s = [1] 1001010

Jadi - 5410 = [1] 1001010

LATIHAN

1. Ubah bilangan berikut menjadi bilangan bit bertanda :
a) 23 b) – 23 c) – 45 d) - 125


PENGKODEAN
• Kode adalah karakter – karakter khusus bisa numerik atau alphabetis yang dipakai sebagai simbol lain. Di dalam komponen digital karakter – karakter khusus tersebut adalah 1 dan 0.

• Manfaat kode di dalam komputer adalah :
 Untuk mempermudah operasi aritmatika.
 Untuk alasan – alasan efisiensi.
 Dipakai untuk mendeteksi bahkan mengoreksi data – data yang ditransmisikan.
 Untuk alasan keamanan.
• Keluarga Binary Coded Decimal (BCD), bilangan desimal yang dikodekan dalam bilangan biner yang termasuk keluarga 421.
Desimal 8421 5421 7421 2*421
0 0000 0000 0000 0000
1 0001 0001 0111 0001
2 0010 0010 0110 0010
3 0011 0011 0101 0011
4 0100 0100 0100 0100
5 0101 1000 1010 1011
6 0110 1001 1001 1100
7 0111 1010 1000 1101
8 1000 1011 1111 1110
9 1001 1100 1110 1111
• Selain itu keluarga Binary Coded Decimal (BCD) dapat juga dikodekan dalam bilangan biner khusus, yaitu bilangan biner selain keluarga 421.

Desimal 6311 Exess-3 2 out of 5
0 0000 0011 00011
1 0001 0100 00101
2 0011 0101 00110
3 0100 0110 01001
4 0101 0111 01010
5 0111 1000 01100
6 1000 1001 10001
7 1001 1010 10010
8 1011 1011 10100
9 1100 1100 11000


Contoh :
( 153 ) 10 = ( 0001 1000 0011 ) 5421
( 8391 ) 10 = ( 1110 0011 1111 0001 ) 2*421
( 1011 0100 1111 ) 2*421 = ( 5 4 9 ) 10
( 4213 ) 10 = ( 0111 0101 0100 0110 ) 10


KODE GRAY

Konversi biner ke kode gray :
• MSB biner = MSB Gray
• Selanjutnya bilangan biner menentukan nilai dai gray.
o Jika bit biner sebelum = bit biner sesudah, maka gray bernilai “0”
o Jika bit biner sebelum <> bit biner sesudah, maka gray bernilai “1”

Konversi dari kode gray ke biner
• MSB gray = MSB biner
• Selanjutnya bit gray, menjadi bit kontrol.
o Jika bit gray 1 maka akan mengubah digit biner sebelumnya.
o Jika bit gray 0 maka akan mengulang digit biner sebelumnya.

Contoh :

(11001010010) biner = (10101111011) gray
(10101111011) gray = (11001010010) biner
KODE ASCII

Pemrosesan data oleh komputer terdiri dari angka, huruf, dan simbol. Agar data tersebut dapat digunakan oleh semua aplikasi komputer, perlu adanya standarisasi bentuk yang harus dapat dikonversikan ke dalam bilangan biner. ASCII code (American Standard Code for Information Interchange) diciptakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. ASCII terdiri dari 7 bit kode sehingga akan menghasilkan 27 (128) kombinasi yang akan mewakili angka, huruf, dan simbol.

ASCII Code ASCII Code ASCII Code
6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0
s 0 1 0 0 0 0 0 @ 1 0 0 0 0 0 0 ` 1 1 0 0 0 0 0
! 0 1 0 0 0 0 1 A 1 0 0 0 0 0 1 a 1 1 0 0 0 0 1
“ 0 1 0 0 0 1 0 B 1 0 0 0 0 1 0 b 1 1 0 0 0 1 0
# 0 1 0 0 0 1 1 C 1 0 0 0 0 1 1 c 1 1 0 0 0 1 1
$ 0 1 0 0 1 0 0 D 1 0 0 0 1 0 0 d 1 1 0 0 1 0 0
% 0 1 0 0 1 0 1 E 1 0 0 0 1 0 1 e 1 1 0 0 1 0 1
& 0 1 0 0 1 1 0 F 1 0 0 0 1 1 0 f 1 1 0 0 1 1 0
‘ 0 1 0 0 1 1 1 G 1 0 0 0 1 1 1 g 1 1 0 0 1 1 1
( 0 1 0 1 0 0 0 H 1 0 0 1 0 0 0 h 1 1 0 1 0 0 0
) 0 1 0 1 0 0 1 I 1 0 0 1 0 0 1 i 1 1 0 1 0 0 1
* 0 1 0 1 0 1 0 J 1 0 0 1 0 1 0 j 1 1 0 1 0 1 0
+ 0 1 0 1 0 1 1 K 1 0 0 1 0 1 1 k 1 1 0 1 0 1 1
, 0 1 0 1 1 0 0 L 1 0 0 1 1 0 0 l 1 1 0 1 1 0 0
- 0 1 0 1 1 0 1 M 1 0 0 1 1 0 1 m 1 1 0 1 1 0 1
. 0 1 0 1 1 1 0 N 1 0 0 1 1 1 0 n 1 1 0 1 1 1 0
/ 0 1 0 1 1 1 1 O 1 0 0 1 1 1 1 o 1 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0 0 P 1 0 1 0 0 0 0 p 1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 0 1 Q 1 0 1 0 0 0 1 q 1 1 1 0 0 0 1
2 0 1 1 0 0 1 0 R 1 0 1 0 0 1 0 r 1 1 1 0 0 1 0
3 0 1 1 0 0 1 1 S 1 0 1 0 0 1 1 s 1 1 1 0 0 1 1
4 0 1 1 0 1 0 0 T 1 0 1 0 1 0 0 t 1 1 1 0 1 0 0
5 0 1 1 0 1 0 1 U 1 0 1 0 1 0 1 u 1 1 1 0 1 0 1
6 0 1 1 0 1 1 0 V 1 0 1 0 1 1 0 v 1 1 1 0 1 1 0
7 0 1 1 0 1 1 1 W 1 0 1 0 1 1 1 w 1 1 1 0 1 1 1
8 0 1 1 1 0 0 0 X 1 0 1 1 0 0 0 x 1 1 1 1 0 0 0
9 0 1 1 1 0 0 1 Y 1 0 1 1 0 0 1 y 1 1 1 1 0 0 1
: 0 1 1 1 0 1 0 Z 1 0 1 1 0 1 0 z 1 1 1 1 0 1 0
; 0 1 1 1 0 1 1 [ 1 0 1 1 0 1 1 { 1 1 1 1 0 1 1
< 0 1 1 1 1 0 0 \ 1 0 1 1 1 0 0 | 1 1 1 1 1 0 0
= 0 1 1 1 1 0 1 ] 1 0 1 1 1 0 1 } 1 1 1 1 1 0 1
> 0 1 1 1 1 1 0 ^ 1 0 1 1 1 1 0 ~ 1 1 1 1 1 1 0
? 0 1 1 1 1 1 1 _ 1 0 1 1 1 1 1 d 1 1 1 1 1 1 1

Berdasarkan tabel ASCII tersebut, suatu karakter akan dapat langsung diubah ke dalam bentuk binernya.
Contoh :
Karakter “ S t a r t “ dapat dikodekan dalam ASCII menjadi :

1010011 1110100 1100001 1110010 1110100
S t a r t


PARITAS DALAM KODE

Sifat Paritas :
1. Paritas Genap
Jumlah angka 1 dalam word + paritas = genap
2. Paritas Ganjil
Jumlah angka 1 dalam word + paritas = ganjil

Jenis Paritas :
1. Paritas Bit
Menambahkan 1 bit
2. Paritas Word
Menambahkan 1 word / kumpulan bit
Contoh :
1 0 1 0 1 0
1 1 1 0 0 0
1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0
0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0




TUGAS 2

 Kodekan bilangan berikut ini :
1. (193) 10 = ( ... ) 7 4 2 1
2. (456) 10 = ( ... ) 2* 4 2 1

3. (100101001110) biner = ( ... ) gray
(110111101001) gray = ( ... ) biner

4. PP - TI - Uksw = ( ... ) ascii

 Data-data di samping merupakan pesan yang akan dikirim. Pada rangkaian data tersebut sudah termasuk paritas bit dan paritas word. Dengan menggunakan paritas ganjil, periksalah apakah ada kesalahan atau tidak pada data tersebut. Jika ada tunjukkan data mana yang salah dan bagaimana data yang seharusnya dikirim.